799. 香槟塔

English Version

题目描述

我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中 第一层 有 1 个玻璃杯， 第二层 有 2 个，依次类推到第 100 层，每个玻璃杯 (250ml) 将盛有香槟。

从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）

例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。

现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（ i 和 j 都从0开始）。

 

示例 1:
输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.00000
解释: 我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。

示例 2:
输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.50000
解释: 我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。

示例 3:

输入: poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17
输出: 1.00000

 

提示:

• 0 <= poured <= 109
• 0 <= query_glass <= query_row < 100

解法

方法一：模拟

我们直接模拟倒香槟的过程。

定义一个二维数组 $f$，其中 $f[i][j]$ 表示第 $i$ 层第 $j$ 个玻璃杯中的香槟量。初始时 $f[0][0]=poured$。

对于每一层，如果当前杯子的香槟量 $f[i][j]$ 大于 $1$，香槟会流向下一层的两个杯子，流入的量为 $\frac{f[i][j]-1}{2}$，即当前杯子的香槟量减去 $1$ 后除以 $2$，然后当前杯子的香槟量更新为 $1$。

模拟结束，返回 $f[quer{y}_{r}ow][quer{y}_{g}lass]$ 即可。

由于每一层的香槟量只与上一层的香槟量有关，因此我们可以用滚动数组的方式优化空间复杂度，将二维数组优化为一维数组。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为层数，即 $quer{y}_{r}ow$。

class Solution:
    def champagneTower(self, poured: int, query_row: int, query_glass: int) -> float:
        f = [[0] * 101 for _ in range(101)]
        f[0][0] = poured
        for i in range(query_row + 1):
            for j in range(i + 1):
                if f[i][j] > 1:
                    half = (f[i][j] - 1) / 2
                    f[i][j] = 1
                    f[i + 1][j] += half
                    f[i + 1][j + 1] += half
        return f[query_row][query_glass]

class Solution {
    public double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
        double[][] f = new double[101][101];
        f[0][0] = poured;
        for (int i = 0; i <= query_row; ++i) {
            for (int j = 0; j <= i; ++j) {
                if (f[i][j] > 1) {
                    double half = (f[i][j] - 1) / 2.0;
                    f[i][j] = 1;
                    f[i + 1][j] += half;
                    f[i + 1][j + 1] += half;
                }
            }
        }
        return f[query_row][query_glass];
    }
}

class Solution {
public:
    double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
        double f[101][101] = {0.0};
        f[0][0] = poured;
        for (int i = 0; i <= query_row; ++i) {
            for (int j = 0; j <= i; ++j) {
                if (f[i][j] > 1) {
                    double half = (f[i][j] - 1) / 2.0;
                    f[i][j] = 1;
                    f[i + 1][j] += half;
                    f[i + 1][j + 1] += half;
                }
            }
        }
        return f[query_row][query_glass];
    }
};

func champagneTower(poured int, query_row int, query_glass int) float64 {
	f := [101][101]float64{}
	f[0][0] = float64(poured)
	for i := 0; i <= query_row; i++ {
		for j := 0; j <= i; j++ {
			if f[i][j] > 1 {
				half := (f[i][j] - 1) / 2.0
				f[i][j] = 1
				f[i+1][j] += half
				f[i+1][j+1] += half
			}
		}
	}
	return f[query_row][query_glass]
}

function champagneTower(poured: number, query_row: number, query_glass: number): number {
    let row = [poured];
    for (let i = 1; i <= query_row; i++) {
        const nextRow = new Array(i + 1).fill(0);
        for (let j = 0; j < i; j++) {
            if (row[j] > 1) {
                nextRow[j] += (row[j] - 1) / 2;
                nextRow[j + 1] += (row[j] - 1) / 2;
            }
        }
        row = nextRow;
    }
    return Math.min(1, row[query_glass]);
}

impl Solution {
    pub fn champagne_tower(poured: i32, query_row: i32, query_glass: i32) -> f64 {
        let query_row = query_row as usize;
        let query_glass = query_glass as usize;
        let mut row = vec![poured as f64];
        for i in 1..=query_row {
            let mut next_row = vec![0f64; i + 1];
            for j in 0..i {
                if row[j] > 1f64 {
                    next_row[j] += (row[j] - 1f64) / 2f64;
                    next_row[j + 1] += (row[j] - 1f64) / 2f64;
                }
            }
            row = next_row;
        }
        (1f64).min(row[query_glass])
    }
}

方法二

class Solution:
    def champagneTower(self, poured: int, query_row: int, query_glass: int) -> float:
        f = [poured]
        for i in range(1, query_row + 1):
            g = [0] * (i + 1)
            for j, v in enumerate(f):
                if v > 1:
                    half = (v - 1) / 2
                    g[j] += half
                    g[j + 1] += half
            f = g
        return min(1, f[query_glass])

class Solution {
    public double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
        double[] f = {poured};
        for (int i = 1; i <= query_row; ++i) {
            double[] g = new double[i + 1];
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                if (f[j] > 1) {
                    double half = (f[j] - 1) / 2.0;
                    g[j] += half;
                    g[j + 1] += half;
                }
            }
            f = g;
        }
        return Math.min(1, f[query_glass]);
    }
}

class Solution {
public:
    double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
        double f[101] = {(double) poured};
        double g[101];
        for (int i = 1; i <= query_row; ++i) {
            memset(g, 0, sizeof g);
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                if (f[j] > 1) {
                    double half = (f[j] - 1) / 2.0;
                    g[j] += half;
                    g[j + 1] += half;
                }
            }
            memcpy(f, g, sizeof g);
        }
        return min(1.0, f[query_glass]);
    }
};

func champagneTower(poured int, query_row int, query_glass int) float64 {
	f := []float64{float64(poured)}
	for i := 1; i <= query_row; i++ {
		g := make([]float64, i+1)
		for j, v := range f {
			if v > 1 {
				half := (v - 1) / 2.0
				g[j] += half
				g[j+1] += half
			}
		}
		f = g
	}
	return math.Min(1, f[query_glass])
}