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1579. 保证图可完全遍历

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题目描述

Alice 和 Bob 共有一个无向图，其中包含 n 个节点和 3 种类型的边：

类型 1：只能由 Alice 遍历。
类型 2：只能由 Bob 遍历。
类型 3：Alice 和 Bob 都可以遍历。

给你一个数组 edges ，其中 edges[i] = [type_i, u_i, v_i] 表示节点 u_i 和 v_i 之间存在类型为 type_i 的双向边。请你在保证图仍能够被 Alice和 Bob 完全遍历的前提下，找出可以删除的最大边数。如果从任何节点开始，Alice 和 Bob 都可以到达所有其他节点，则认为图是可以完全遍历的。

返回可以删除的最大边数，如果 Alice 和 Bob 无法完全遍历图，则返回 -1 。

示例 1：

输入：n = 4, edges = [[3,1,2],[3,2,3],[1,1,3],[1,2,4],[1,1,2],[2,3,4]]
输出：2
解释：如果删除 [1,1,2] 和 [1,1,3] 这两条边，Alice 和 Bob 仍然可以完全遍历这个图。再删除任何其他的边都无法保证图可以完全遍历。所以可以删除的最大边数是 2 。

示例 2：

输入：n = 4, edges = [[3,1,2],[3,2,3],[1,1,4],[2,1,4]]
输出：0
解释：注意，删除任何一条边都会使 Alice 和 Bob 无法完全遍历这个图。

示例 3：

输入：n = 4, edges = [[3,2,3],[1,1,2],[2,3,4]]
输出：-1
解释：在当前图中，Alice 无法从其他节点到达节点 4 。类似地，Bob 也不能达到节点 1 。因此，图无法完全遍历。

提示：

1 <= n <= 10^5
1 <= edges.length <= min(10^5, 3 * n * (n-1) / 2)
edges[i].length == 3
1 <= edges[i][0] <= 3
1 <= edges[i][1] < edges[i][2] <= n
所有元组 (type_i, u_i, v_i) 互不相同

解法

方法一：贪心 + 并查集

题目要求我们删除最多数目的边，使得 Alice 和 Bob 都可以遍历整个图。也即是说，我们需要保留尽可能少的边，并且要求这些边能够使得 Alice 和 Bob 都可以遍历整个图。

我们可以用两个并查集 $ufa$ 和 $ufb$ 分别维护 Alice 和 Bob 的遍历情况。

接下来，我们优先遍历公共边，即 $type=3$ 的边。对于每一条公共边的两个端点 $u$ 和 $v$，如果这两个点已经在同一个连通分量中，那么我们就可以删去这条边，因此答案加一；否则我们就将这两个点合并，即执行 $ufa.union(u, v)$ 和 $ufb.union(u, v)$。

然后，我们再遍历 Alice 独有的边，即 $type=1$ 的边。对于每一条 Alice 独有的边的两个端点 $u$ 和 $v$，如果这两个点已经在同一个连通分量中，那么我们就可以删去这条边，答案加一；否则我们就将这两个点合并，即执行 $ufa.union(u, v)$。同理，对于 Bob 独有的边，我们也可以执行相同的操作。

最后，如果 Alice 和 Bob 都可以遍历整个图，那么答案就是我们删除的边数；否则答案就是 $-1$。

时间复杂度 $O(m \times \alpha(n))$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $m$ 是边数，而 $\alpha(n)$ 是阿克曼函数的反函数。

Python3

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.p = list(range(n))
        self.size = [1] * n
        self.cnt = n

    def find(self, x):
        if self.p[x] != x:
            self.p[x] = self.find(self.p[x])
        return self.p[x]

    def union(self, a, b):
        pa, pb = self.find(a - 1), self.find(b - 1)
        if pa == pb:
            return False
        if self.size[pa] > self.size[pb]:
            self.p[pb] = pa
            self.size[pa] += self.size[pb]
        else:
            self.p[pa] = pb
            self.size[pb] += self.size[pa]
        self.cnt -= 1
        return True


class Solution:
    def maxNumEdgesToRemove(self, n: int, edges: List[List[int]]) -> int:
        ufa = UnionFind(n)
        ufb = UnionFind(n)
        ans = 0
        for t, u, v in edges:
            if t == 3:
                if ufa.union(u, v):
                    ufb.union(u, v)
                else:
                    ans += 1
        for t, u, v in edges:
            if t == 1:
                ans += not ufa.union(u, v)
            if t == 2:
                ans += not ufb.union(u, v)
        return ans if ufa.cnt == 1 and ufb.cnt == 1 else -1

Java

class UnionFind {
    private int[] p;
    private int[] size;
    public int cnt;

    public UnionFind(int n) {
        p = new int[n];
        size = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            p[i] = i;
            size[i] = 1;
        }
        cnt = n;
    }

    public int find(int x) {
        if (p[x] != x) {
            p[x] = find(p[x]);
        }
        return p[x];
    }

    public boolean union(int a, int b) {
        int pa = find(a - 1), pb = find(b - 1);
        if (pa == pb) {
            return false;
        }
        if (size[pa] > size[pb]) {
            p[pb] = pa;
            size[pa] += size[pb];
        } else {
            p[pa] = pb;
            size[pb] += size[pa];
        }
        --cnt;
        return true;
    }
}

class Solution {
    public int maxNumEdgesToRemove(int n, int[][] edges) {
        UnionFind ufa = new UnionFind(n);
        UnionFind ufb = new UnionFind(n);
        int ans = 0;
        for (var e : edges) {
            int t = e[0], u = e[1], v = e[2];
            if (t == 3) {
                if (ufa.union(u, v)) {
                    ufb.union(u, v);
                } else {
                    ++ans;
                }
            }
        }
        for (var e : edges) {
            int t = e[0], u = e[1], v = e[2];
            if (t == 1 && !ufa.union(u, v)) {
                ++ans;
            }
            if (t == 2 && !ufb.union(u, v)) {
                ++ans;
            }
        }
        return ufa.cnt == 1 && ufb.cnt == 1 ? ans : -1;
    }
}

C++

class UnionFind {
public:
    int cnt;

    UnionFind(int n) {
        p = vector<int>(n);
        size = vector<int>(n, 1);
        iota(p.begin(), p.end(), 0);
        cnt = n;
    }

    bool unite(int a, int b) {
        int pa = find(a - 1), pb = find(b - 1);
        if (pa == pb) {
            return false;
        }
        if (size[pa] > size[pb]) {
            p[pb] = pa;
            size[pa] += size[pb];
        } else {
            p[pa] = pb;
            size[pb] += size[pa];
        }
        --cnt;
        return true;
    }

    int find(int x) {
        if (p[x] != x) {
            p[x] = find(p[x]);
        }
        return p[x];
    }

private:
    vector<int> p, size;
};

class Solution {
public:
    int maxNumEdgesToRemove(int n, vector<vector<int>>& edges) {
        UnionFind ufa(n);
        UnionFind ufb(n);
        int ans = 0;
        for (auto& e : edges) {
            int t = e[0], u = e[1], v = e[2];
            if (t == 3) {
                if (ufa.unite(u, v)) {
                    ufb.unite(u, v);
                } else {
                    ++ans;
                }
            }
        }
        for (auto& e : edges) {
            int t = e[0], u = e[1], v = e[2];
            ans += t == 1 && !ufa.unite(u, v);
            ans += t == 2 && !ufb.unite(u, v);
        }
        return ufa.cnt == 1 && ufb.cnt == 1 ? ans : -1;
    }
};

Go

type unionFind struct {
	p, size []int
	cnt     int
}

func newUnionFind(n int) *unionFind {
	p := make([]int, n)
	size := make([]int, n)
	for i := range p {
		p[i] = i
		size[i] = 1
	}
	return &unionFind{p, size, n}
}

func (uf *unionFind) find(x int) int {
	if uf.p[x] != x {
		uf.p[x] = uf.find(uf.p[x])
	}
	return uf.p[x]
}

func (uf *unionFind) union(a, b int) bool {
	pa, pb := uf.find(a-1), uf.find(b-1)
	if pa == pb {
		return false
	}
	if uf.size[pa] > uf.size[pb] {
		uf.p[pb] = pa
		uf.size[pa] += uf.size[pb]
	} else {
		uf.p[pa] = pb
		uf.size[pb] += uf.size[pa]
	}
	uf.cnt--
	return true
}

func maxNumEdgesToRemove(n int, edges [][]int) (ans int) {
	ufa := newUnionFind(n)
	ufb := newUnionFind(n)
	for _, e := range edges {
		t, u, v := e[0], e[1], e[2]
		if t == 3 {
			if ufa.union(u, v) {
				ufb.union(u, v)
			} else {
				ans++
			}
		}
	}
	for _, e := range edges {
		t, u, v := e[0], e[1], e[2]
		if t == 1 && !ufa.union(u, v) {
			ans++
		}
		if t == 2 && !ufb.union(u, v) {
			ans++
		}
	}
	if ufa.cnt == 1 && ufb.cnt == 1 {
		return
	}
	return -1
}

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