891. 子序列宽度之和

English Version

题目描述

一个序列的 宽度 定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 的所有非空 子序列 的 宽度之和 。由于答案可能非常大，请返回对 109 + 7 取余 后的结果。

子序列 定义为从一个数组里删除一些（或者不删除）元素，但不改变剩下元素的顺序得到的数组。例如，[3,6,2,7] 就是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的一个子序列。

 

示例 1：

输入：nums = [2,1,3]
输出：6
解释：子序列为 [1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3] 。
相应的宽度是 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2 。
宽度之和是 6 。

示例 2：

输入：nums = [2]
输出：0

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• 1 <= nums[i] <= 105

解法

方法一：排序 + 枚举元素计算贡献

题目求解的是数组 nums 中所有子序列中最大值与最小值差值之和，注意到“子序列”，并且涉及到“最大值”与“最小值”，我们考虑先对数组 nums 进行排序。

然后我们枚举数组 nums 中的每个元素 $nums[i]$，该元素左侧的元素个数为 $i$，右侧的元素个数为 $n-i-1$。

如果我们将元素 $nums[i]$ 作为子序列的最大值，总共有多少个满足条件的子序列呢？显然，子序列的其他元素应该从左侧的 $i$ 个元素中选取，每个元素有两种选择，即选或不选，因此总共有 $2^i$ 个子序列。同理，如果我们将元素 $nums[i]$ 作为子序列的最小值，那么总共有 $2^{n-i-1}$ 个满足条件的子序列。因此 $nums[i]$ 对答案的贡献为：

$$ \begin{aligned} nums[i] \times (2^i - 2^{n-i-1}) \end{aligned} $$

我们将数组 nums 中所有元素的贡献累加，即为答案：

$$ \begin{aligned} \sum_{i=0}^{n-1} nums[i] \times (2^i - 2^{n-i-1}) \end{aligned} $$

我们将上式展开，可以得到：

$$ \begin{aligned} nums[0] \times (2^0 - 2^{n-1}) + nums[1] \times (2^1 - 2^{n-2}) + ... + nums[n-1] \times (2^{n-1} - 2^0) \end{aligned} $$

再将式子中相同的幂次项合并，可以得到：

$$ \begin{aligned} (nums[0] - nums[n-1]) \times 2^0 + (nums[1] - nums[n-2]) \times 2^1 + ... + (nums[n-1] - nums[0]) \times 2^{n-1} \end{aligned} $$

即：

$$ \begin{aligned} \sum_{i=0}^{n-1} (nums[i] - nums[n-i-1]) \times 2^i \end{aligned} $$

因此我们只需要对数组 nums 进行排序，然后计算上述的贡献即可。注意答案的取模操作。

时间复杂度 $O(n\times \log n)$，空间复杂度 $O(\log n)$。其中 $n$ 为数组 nums 的长度。

Python3

class Solution:
    def sumSubseqWidths(self, nums: List[int]) -> int:
        mod = 10**9 + 7
        nums.sort()
        ans, p = 0, 1
        for i, v in enumerate(nums):
            ans = (ans + (v - nums[-i - 1]) * p) % mod
            p = (p << 1) % mod
        return ans

Java

class Solution {
    private static final int MOD = (int) 1e9 + 7;

    public int sumSubseqWidths(int[] nums) {
        Arrays.sort(nums);
        long ans = 0, p = 1;
        int n = nums.length;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            ans = (ans + (nums[i] - nums[n - i - 1]) * p + MOD) % MOD;
            p = (p << 1) % MOD;
        }
        return (int) ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    const int mod = 1e9 + 7;

    int sumSubseqWidths(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(), nums.end());
        long ans = 0, p = 1;
        int n = nums.size();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            ans = (ans + (nums[i] - nums[n - i - 1]) * p + mod) % mod;
            p = (p << 1) % mod;
        }
        return ans;
    }
};

Go

func sumSubseqWidths(nums []int) (ans int) {
	const mod int = 1e9 + 7
	sort.Ints(nums)
	p, n := 1, len(nums)
	for i, v := range nums {
		ans = (ans + (v-nums[n-i-1])*p + mod) % mod
		p = (p << 1) % mod
	}
	return
}

...