feat: add solutions to lc problem: No.1735

No.1735.Count Ways to Make Array With Product

Author: yanglbme

solution/1700-1799/1735.Count Ways to Make Array With Product/README.md

@@ -43,6 +43,22 @@
 
 <!-- 这里可写通用的实现逻辑 -->
 
+**方法一：质因数分解 + 组合数学**
+
+我们可以对 $k$ 进行质因数分解，即 $k = p_1^{x_1} \times p_2^{x_2} \times \cdots \times p_m^{x_m}$，其中 $p_i$ 为质数，而 $x_i$ 为 $p_i$ 的指数。那么题目实际上等价于：把 $x_1$ 个 $p_1$, $x_2$ 个 $p_2$, $\cdots$, $x_m$ 个 $p_m$ 分别放到 $n$ 个位置上，单个位置可以为空，问有多少种方案。
+
+根据组合数学的知识，我们把 $x$ 个球放入 $n$ 个盒子中，有两种情况：
+
+如果盒子不能为空，那么方案数为 $C_{x-1}^{n-1}$，这里是利用隔板法，即一共 $x$ 个球，我们在其中 $x-1$ 个位置插入 $n-1$ 个隔板，从而将 $x$ 个球分成 $n$ 组。
+
+如果盒子可以为空，那么我们可以再增加 $n$ 个虚拟球，然后再利用隔板法，即一共 $x+n$ 个球，我们在其中 $x+n-1$ 个位置插入 $n-1$ 个隔板，从而将实际的 $x$ 个球分成 $n$ 组，并且允许盒子为空，因此方案数为 $C_{x+n-1}^{n-1}$。
+
+因此，对于每个查询 $queries[i]$，我们可以先对 $k$ 进行质因数分解，得到指数 $x_1, x_2, \cdots, x_m$，然后计算 $C_{x_1+n-1}^{n-1}, C_{x_2+n-1}^{n-1}, \cdots, C_{x_m+n-1}^{n-1}$，最后将所有的方案数相乘即可。
+
+所以，问题转化为如何快速计算 $C_m^n$，根据公式 $C_m^n = \frac{m!}{n!(m-n)!}$，我们可以先预处理出 $m!$，然后利用逆元快速计算 $C_m^n$。
+
+时间复杂度 $O(K \times \log \log K + N + m \times \log K)$，空间复杂度 $O(N)$。
+
 <!-- tabs:start -->
 
 ### **Python3**

solution/CONTEST_README.md

@@ -11,8 +11,8 @@
 
 | 段位  | 比例   | 段位名   | 国服分数线    | 勋章                                                                    |
 | ----- | ------ | -------- | --------- | --------------------------------------------------------------------------- |
-| LV3 | 5%  | Guardian | &ge;2258.39 | <p><img alt="" src="https://fastly.jsdelivr.net/gh/doocs/leetcode@main/images/Guardian.gif" style="width: 80px;" /></p> |
-| LV2 | 20% | Knight   | &ge;1888.252 | <p><img alt="" src="https://fastly.jsdelivr.net/gh/doocs/leetcode@main/images/Knight.gif" style="width: 80px;" /></p>   |
+| LV3 | 5%  | Guardian | &ge;2265.64 | <p><img alt="" src="https://fastly.jsdelivr.net/gh/doocs/leetcode@main/images/Guardian.gif" style="width: 80px;" /></p> |
+| LV2 | 20% | Knight   | &ge;1894.28 | <p><img alt="" src="https://fastly.jsdelivr.net/gh/doocs/leetcode@main/images/Knight.gif" style="width: 80px;" /></p>   |
 | LV1 | 75% | -        | -         | -                                                                           |
 
 力扣竞赛 **全国排名前 10** 的用户，全站用户名展示为品牌橙色。

solution/contest.py

@@ -127,8 +127,8 @@ def generate_contest_list():
 
 | 段位  | 比例   | 段位名   | 国服分数线    | 勋章                                                                    |
 | ----- | ------ | -------- | --------- | --------------------------------------------------------------------------- |
-| LV3 | 5%  | Guardian | &ge;2258.39 | <p><img alt="" src="https://fastly.jsdelivr.net/gh/doocs/leetcode@main/images/Guardian.gif" style="width: 80px;" /></p> |
-| LV2 | 20% | Knight   | &ge;1888.252 | <p><img alt="" src="https://fastly.jsdelivr.net/gh/doocs/leetcode@main/images/Knight.gif" style="width: 80px;" /></p>   |
+| LV3 | 5%  | Guardian | &ge;2265.64 | <p><img alt="" src="https://fastly.jsdelivr.net/gh/doocs/leetcode@main/images/Guardian.gif" style="width: 80px;" /></p> |
+| LV2 | 20% | Knight   | &ge;1894.28 | <p><img alt="" src="https://fastly.jsdelivr.net/gh/doocs/leetcode@main/images/Knight.gif" style="width: 80px;" /></p>   |
 | LV1 | 75% | -        | -         | -                                                                           |
 
 力扣竞赛 **全国排名前 10** 的用户，全站用户名展示为品牌橙色。