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188. 买卖股票的最佳时机 IV

English Version

题目描述

给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格，和一个整型 k 。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

 

示例 1：

输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2：

输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
     随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

 

提示：

• 0 <= k <= 100
• 0 <= prices.length <= 1000
• 0 <= prices[i] <= 1000

解法

方法一：记忆化搜索

我们设计一个函数 $dfs(i,j,k)$，表示从第 $i$ 天开始，最多进行 $j$ 笔交易，以及当前持有股票的状态为 $k$（不持有股票用 $0$ 表示，持有股票用 $1$ 表示）时，所能获得的最大利润。答案即为 $dfs(0,k,0)$。

函数 $dfs(i,j,k)$ 的执行逻辑如下：

• 如果 $i$ 大于等于 $n$，直接返回 $0$；
• 第 $i$ 天可以不进行任何操作，那么 $dfs(i,j,k)=dfs(i+1,j,k)$；
• 如果 $k>0$，那么第 $i$ 天可以选择卖出股票，那么 $dfs(i,j,k)=max(dfs(i+1,j-1,0)+prices[i],dfs(i+1,j,k))$；
• 否则，如果 $j>0$，那么第 $i$ 天可以选择买入股票，那么 $dfs(i,j,k)=max(dfs(i+1,j-1,1)-prices[i],dfs(i+1,j,k))$。

取上述三种情况的最大值即为 $dfs(i,j,k)$ 的值。

过程中，我们可以使用记忆化搜索的方法，将每次计算的结果保存下来，避免重复计算。

时间复杂度 $O(n\times k)$，空间复杂度 $O(n\times k)$。其中 $n$ 和 $k$ 分别为数组 $prices$ 的长度和 $k$ 的值。

Python3

class Solution:
    def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
        @cache
        def dfs(i, j, k):
            if i >= len(prices):
                return 0
            ans = dfs(i + 1, j, k)
            if k:
                ans = max(ans, prices[i] + dfs(i + 1, j, 0))
            elif j:
                ans = max(ans, -prices[i] + dfs(i + 1, j - 1, 1))
            return ans

        return dfs(0, k, 0)

class Solution:
    def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
        n = len(prices)
        if n < 2:
            return 0
        dp = [[[0] * 2 for _ in range(k + 1)] for _ in range(n)]
        for i in range(1, k + 1):
            dp[0][i][1] = -prices[0]
        for i in range(1, n):
            for j in range(1, k + 1):
                dp[i][j][0] = max(dp[i - 1][j][1] + prices[i], dp[i - 1][j][0])
                dp[i][j][1] = max(dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][j][1])
        return dp[-1][k][0]

Java

class Solution {
    private Integer[][][] f;
    private int[] prices;
    private int n;

    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        n = prices.length;
        this.prices = prices;
        f = new Integer[n][k + 1][2];
        return dfs(0, k, 0);
    }

    private int dfs(int i, int j, int k) {
        if (i >= n) {
            return 0;
        }
        if (f[i][j][k] != null) {
            return f[i][j][k];
        }
        int ans = dfs(i + 1, j, k);
        if (k > 0) {
            ans = Math.max(ans, prices[i] + dfs(i + 1, j, 0));
        } else if (j > 0) {
            ans = Math.max(ans, -prices[i] + dfs(i + 1, j - 1, 1));
        }
        f[i][j][k] = ans;
        return ans;
    }
}

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        int n = prices.length;
        if (n <= 1) {
            return 0;
        }
        int[][][] dp = new int[n][k + 1][2];
        for (int i = 1; i <= k; ++i) {
            dp[0][i][1] = -prices[0];
        }
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= k; ++j) {
                dp[i][j][0] = Math.max(dp[i - 1][j][1] + prices[i], dp[i - 1][j][0]);
                dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][j][1]);
            }
        }
        return dp[n - 1][k][0];
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        int f[n][k + 1][2];
        memset(f, 0x3f, sizeof f);
        function<int(int, int, int)> dfs = [&](int i, int j, int k) -> int {
            if (i >= n) return 0;
            if (f[i][j][k] != 0x3f3f3f3f) return f[i][j][k];
            int ans = dfs(i + 1, j, k);
            if (k) ans = max(ans, prices[i] + dfs(i + 1, j, 0));
            else if (j) ans = max(ans, -prices[i] + dfs(i + 1, j - 1, 1));
            f[i][j][k] = ans;
            return ans;
        };
        return dfs(0, k, 0);
    }
};

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        int dp[k + 1][2];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= k && !prices.empty(); ++i) {
            dp[i][0] = -prices[0];
        }
        for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) {
            for (int j = 1; j <= k; ++j) {
                dp[j][0] = max(dp[j][0], dp[j - 1][1] - prices[i]);
                dp[j][1] = max(dp[j][1], dp[j][0] + prices[i]);
            }
        }
        return dp[k][1];
    }
};

Go

func maxProfit(k int, prices []int) int {
	n := len(prices)
	f := make([][][2]int, n)
	const inf int = 0x3f3f3f3f
	for i := range f {
		f[i] = make([][2]int, k+1)
		for j := range f[i] {
			f[i][j] = [2]int{inf, inf}
		}
	}
	var dfs func(i, j, k int) int
	dfs = func(i, j, k int) int {
		if i >= n {
			return 0
		}
		if f[i][j][k] != inf {
			return f[i][j][k]
		}
		ans := dfs(i+1, j, k)
		if k > 0 {
			ans = max(ans, prices[i]+dfs(i+1, j, 0))
		} else if j > 0 {
			ans = max(ans, -prices[i]+dfs(i+1, j-1, 1))
		}
		f[i][j][k] = ans
		return ans
	}
	return dfs(0, k, 0)
}

func max(a, b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}

func maxProfit(k int, prices []int) int {
	n := len(prices)
	if n < 2 {
		return 0
	}
	dp := make([][][]int, n)
	for i := 0; i < n; i++ {
		dp[i] = make([][]int, k+1)
		for j := 0; j <= k; j++ {
			dp[i][j] = make([]int, 2)
		}
	}
	for i := 1; i <= k; i++ {
		dp[0][i][1] = -prices[0]
	}
	for i := 1; i < n; i++ {
		for j := 1; j <= k; j++ {
			dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][1]+prices[i], dp[i-1][j][0])
			dp[i][j][1] = max(dp[i-1][j-1][0]-prices[i], dp[i-1][j][1])
		}
	}
	return dp[n-1][k][0]
}

func max(a, b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}

...