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c29b144 · May 17, 2024

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困难
贪心
数组

English Version

题目描述

给定一个已排序的正整数数组 nums 和一个正整数 n从 [1, n] 区间内选取任意个数字补充到 nums 中,使得 [1, n] 区间内的任何数字都可以用 nums 中某几个数字的和来表示。

请返回 满足上述要求的最少需要补充的数字个数 。

 

示例 1:

输入: nums = [1,3], n = 6
输出: 1 
解释:
根据 nums 里现有的组合 [1], [3], [1,3],可以得出 1, 3, 4。
现在如果我们将 2 添加到 nums 中, 组合变为: [1], [2], [3], [1,3], [2,3], [1,2,3]。
其和可以表示数字 1, 2, 3, 4, 5, 6,能够覆盖 [1, 6] 区间里所有的数。
所以我们最少需要添加一个数字。

示例 2:

输入: nums = [1,5,10], n = 20
输出: 2
解释: 我们需要添加 [2,4]

示例 3:

输入: nums = [1,2,2], n = 5
输出: 0

 

提示:

  • 1 <= nums.length <= 1000
  • 1 <= nums[i] <= 104
  • nums 按 升序排列
  • 1 <= n <= 231 - 1

解法

方法一:贪心

我们假设数字 x 是最小的不能表示的正整数,那么 [ 1 , . . x 1 ] 的这些数都是可以表示的。为了能表示数字 x ,我们需要添加一个小于等于 x 的数:

  • 如果添加的数等于 x ,由于 [ 1 , . . x 1 ] 的数都可以表示,添加 x 后,区间 [ 1 , . .2 x 1 ] 内的数都可以表示,最小的不能表示的正整数变成了 2 x
  • 如果添加的数小于 x ,不妨设为 x ,由于 [ 1 , . . x 1 ] 的数都可以表示,添加 x 后,区间 [ 1 , . . x + x 1 ] 内的数都可以表示,最小的不能表示的正整数变成了 x + x < 2 x

因此,我们应该贪心地添加数字 x ,这样可以覆盖的区间更大。

我们用一个变量 x 记录当前不能表示的最小正整数,初始化为 1 ,此时 [ 1 , . . x 1 ] 是空的,表示当前没有任何数可以被覆盖;用一个变量 i 记录当前遍历到的数组下标。

循环进行以下操作:

  • 如果 i 在数组范围内且 n u m s [ i ] x ,说明当前数字可以被覆盖,因此将 x 的值加上 n u m s [ i ] ,并将 i 的值加 1
  • 否则,说明 x 没有被覆盖,因此需要在数组中补充一个数 x ,然后 x 更新为 2 x
  • 重复上述操作,直到 x 的值大于 n

最终答案即为补充的数的数量。

时间复杂度 O ( m + log n ) ,其中 m 为数组 n u m s 的长度。空间复杂度 O ( 1 )

Python3

class Solution:
    def minPatches(self, nums: List[int], n: int) -> int:
        x = 1
        ans = i = 0
        while x <= n:
            if i < len(nums) and nums[i] <= x:
                x += nums[i]
                i += 1
            else:
                ans += 1
                x <<= 1
        return ans

Java

class Solution {
    public int minPatches(int[] nums, int n) {
        long x = 1;
        int ans = 0;
        for (int i = 0; x <= n;) {
            if (i < nums.length && nums[i] <= x) {
                x += nums[i++];
            } else {
                ++ans;
                x <<= 1;
            }
        }
        return ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int minPatches(vector<int>& nums, int n) {
        long long x = 1;
        int ans = 0;
        for (int i = 0; x <= n;) {
            if (i < nums.size() && nums[i] <= x) {
                x += nums[i++];
            } else {
                ++ans;
                x <<= 1;
            }
        }
        return ans;
    }
};

Go

func minPatches(nums []int, n int) (ans int) {
	x := 1
	for i := 0; x <= n; {
		if i < len(nums) && nums[i] <= x {
			x += nums[i]
			i++
		} else {
			ans++
			x <<= 1
		}
	}
	return
}

TypeScript

function minPatches(nums: number[], n: number): number {
    let x = 1;
    let ans = 0;
    for (let i = 0; x <= n; ) {
        if (i < nums.length && nums[i] <= x) {
            x += nums[i++];
        } else {
            ++ans;
            x *= 2;
        }
    }
    return ans;
}