upgrade algorithm

Author: yangcongrui2022

algorithm/二分查找.md

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+- [位运算基本概念](#位运算基本概念)
+- [位运算基本操作](#位运算基本操作)
+- [位运算题型](#位运算题型)
+  - [Acwing.801 二进制中1的个数](#acwing801-二进制中1的个数)
+
+***
+### 位运算基本概念
+位运算就是基于整数的二进制表示进行的运算。由于计算机内部就是以二进制来存储数据，位运算是相当快的。
+
+|        |            与             |            或             |          异或          |
+| :----: | :-----------------------: | :-----------------------: | :--------------------: |
+| 运算符 |             &             |            \|             |           ^            |
+|  表示  | 两个对应位都为 1 时才为 1 | 两个对应位都为 0 时才为 0 | 两个对应位不同时才为 1 |
+
+假设数字 $x$ 的源码是  
+1010000100101  
+反码是源码取反，`~x`  
+0101111011010  
+补码是源码取反 +1 `~x + 1`  
+0101111011011
+
+### 位运算基本操作
+输出数字 $x$ 二进制表示的第 $i$ 位数字  
+- 原理：将第 $i$ 位右移 $i$ 移到最低位上，和 $1$ 做与的运算，如果第 $i$ 位为 $0$，则输出 $0$，如果第 $i$ 位为 $1$，则输出 $1$，这样就取出了第 $i$ 位数字
+```
+int find(int x, int i){
+    return x >> i & 1;
+}
+```
+删除数字 $x$ 的最后一位 $1$  
+- 原理：如果 $x$ 的二进制表示为 $1101000$，那么 $x-1$ 二进制表示为 $1100111$，`x & (x - 1)`计算的结果为 $1100000$，最后一位 $1$ 变成了 $0$，其它位不变
+```
+x & (x - 1);
+```
+返回数字 $x$ 的最后一位 $1$  
+- 原理：如果 $x$ 的二进制表示为 $1101000$，那么 $~x$ 二进制表示为 $0010111$，$~x+1$ 二进制表示为 $0011000$，`x & (~x+1) == x & (-x)`的计算结果为 $0001000$ 只保留了最后一位 $1$，其余位都为 $0$
+```
+int lowbit(int x){
+    return x & (-x);
+}
+```
+### 位运算题型
+#### Acwing.801 二进制中1的个数
+- 链接<https://www.acwing.com/problem/content/description/803/>
+
+给定一个长度为 $n$ 的数列，请你求出数列中每个数的二进制表示中 $1$ 的个数。
+
+**输入格式**  
+第一行包含整数 $n$。
+
+第二行包含 $n$ 个整数，表示整个数列。
+
+**输出格式**  
+共一行，包含 $n$ 个整数，其中的第 $i$ 个数表示数列中的第 $i$ 个数的二进制表示中 $1$ 的个数。
+
+**数据范围**  
+$1≤n≤100000$,  
+$0≤数列中元素的值≤10^9$
+
+**输入样例：**
+```
+5
+1 2 3 4 5
+```
+**输出样例：**
+```
+1 1 2 1 2
+```
+- 解题代码
+```
+#include <iostream>
+
+using namespace std;
+
+int lowbit(int x){
+    return x & (-x);
+}
+
+int main(){
+    int n;
+    cin >> n;
+    
+    while (n --){
+        int x;
+        cin >> x;
+        
+        int res = 0;
+        while (x){
+            x -= lowbit(x);// 也可以 x & (x - 1) 不用lowbit操作
+            res ++;
+        }
+        
+        cout << res << ' ';
+    }
+    return 0;
+}
+```