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337. 打家劫舍 III

English Version

题目描述

小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为 root 。

除了 root 之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果 两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫 ，房屋将自动报警。

给定二叉树的 root 。返回 在不触动警报的情况下 ，小偷能够盗取的最高金额 。

 

示例 1:

输入: root = [3,2,3,null,3,null,1]
输出: 7 
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 3 + 3 + 1 = 7

示例 2:

输入: root = [3,4,5,1,3,null,1]
输出: 9
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 4 + 5 = 9

 

提示：

• 树的节点数在 [1, 104] 范围内
• 0 <= Node.val <= 104

解法

方法一：树形 DP

我们定义一个函数 $dfs(root)$，表示偷取以 $root$ 为根的二叉树的最大金额。该函数返回一个二元组 $(a,b)$，其中 $a$ 表示偷取 $root$ 节点时能得到的最大金额，而 $b$ 表示不偷取 $root$ 节点时能得到的最大金额。

函数 $dfs(root)$ 的计算过程如下：

如果 $root$ 为空，那么显然有 $dfs(root)=(0,0)$。

否则，我们首先计算出左右子节点的结果，即 $dfs(root.left)$ 和 $dfs(root.right)$，这样就得到了两对值 $(l_a,l_b)$ 以及 $(r_a,r_b)$。对于 $dfs(root)$ 的结果，我们可以分为两种情况：

• 如果偷取 $root$ 节点，那么不能偷取其左右子节点，结果为 $root.val+l_b+r_b$；
• 如果不偷取 $root$ 节点，那么可以偷取其左右子节点，结果为 $max(l_a,l_b)+max(r_a,r_b)$。

在主函数中，我们可以直接返回 $dfs(root)$ 的较大值，即 $max(dfs(root))$。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是二叉树的节点数。

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:
    def rob(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
        def dfs(root: Optional[TreeNode]) -> (int, int):
            if root is None:
                return 0, 0
            la, lb = dfs(root.left)
            ra, rb = dfs(root.right)
            return root.val + lb + rb, max(la, lb) + max(ra, rb)

        return max(dfs(root))

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
    public int rob(TreeNode root) {
        int[] ans = dfs(root);
        return Math.max(ans[0], ans[1]);
    }

    private int[] dfs(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return new int[2];
        }
        int[] l = dfs(root.left);
        int[] r = dfs(root.right);
        return new int[] {root.val + l[1] + r[1], Math.max(l[0], l[1]) + Math.max(r[0], r[1])};
    }
}

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    int rob(TreeNode* root) {
        function<pair<int, int>(TreeNode*)> dfs = [&](TreeNode* root) -> pair<int, int> {
            if (!root) {
                return make_pair(0, 0);
            }
            auto [la, lb] = dfs(root->left);
            auto [ra, rb] = dfs(root->right);
            return make_pair(root->val + lb + rb, max(la, lb) + max(ra, rb));
        };
        auto [a, b] = dfs(root);
        return max(a, b);
    }
};

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * type TreeNode struct {
 *     Val int
 *     Left *TreeNode
 *     Right *TreeNode
 * }
 */
func rob(root *TreeNode) int {
	var dfs func(*TreeNode) (int, int)
	dfs = func(root *TreeNode) (int, int) {
		if root == nil {
			return 0, 0
		}
		la, lb := dfs(root.Left)
		ra, rb := dfs(root.Right)
		return root.Val + lb + rb, max(la, lb) + max(ra, rb)
	}
	a, b := dfs(root)
	return max(a, b)
}

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * class TreeNode {
 *     val: number
 *     left: TreeNode | null
 *     right: TreeNode | null
 *     constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
 *         this.val = (val===undefined ? 0 : val)
 *         this.left = (left===undefined ? null : left)
 *         this.right = (right===undefined ? null : right)
 *     }
 * }
 */

function rob(root: TreeNode | null): number {
    const dfs = (root: TreeNode | null): [number, number] => {
        if (!root) {
            return [0, 0];
        }
        const [la, lb] = dfs(root.left);
        const [ra, rb] = dfs(root.right);
        return [root.val + lb + rb, Math.max(la, lb) + Math.max(ra, rb)];
    };
    return Math.max(...dfs(root));
}