1969. 数组元素的最小非零乘积

English Version

题目描述

给你一个正整数 p 。你有一个下标从 1 开始的数组 nums ，这个数组包含范围 [1, 2p - 1] 内所有整数的二进制形式（两端都 包含）。你可以进行以下操作 任意 次：

• 从 nums 中选择两个元素 x 和 y  。
• 选择 x 中的一位与 y 对应位置的位交换。对应位置指的是两个整数 相同位置 的二进制位。

比方说，如果 x = 1101 且 y = 0011 ，交换右边数起第 2 位后，我们得到 x = 1111 和 y = 0001 。

请你算出进行以上操作 任意次 以后，nums 能得到的 最小非零 乘积。将乘积对 109 + 7 取余 后返回。

注意：答案应为取余 之前 的最小值。

 

示例 1：

输入：p = 1
输出：1
解释：nums = [1] 。
只有一个元素，所以乘积为该元素。

示例 2：

输入：p = 2
输出：6
解释：nums = [01, 10, 11] 。
所有交换要么使乘积变为 0 ，要么乘积与初始乘积相同。
所以，数组乘积 1 * 2 * 3 = 6 已经是最小值。

示例 3：

输入：p = 3
输出：1512
解释：nums = [001, 010, 011, 100, 101, 110, 111]
- 第一次操作中，我们交换第二个和第五个元素最左边的数位。
    - 结果数组为 [001, 110, 011, 100, 001, 110, 111] 。
- 第二次操作中，我们交换第三个和第四个元素中间的数位。
    - 结果数组为 [001, 110, 001, 110, 001, 110, 111] 。
数组乘积 1 * 6 * 1 * 6 * 1 * 6 * 7 = 1512 是最小乘积。

 

提示：

• 1 <= p <= 60

解法

方法一：贪心 + 快速幂

我们注意到，每一次操作，并不会改变元素的和，而在元素和不变的情况下，要想使得乘积最小，应该尽可能最大化元素的差值。

由于最大的元素为 $2^p - 1$，无论与哪个元素交换，都不会使得差值变大，因此我们不需要考虑与最大元素交换的情况。

对于其它的 $[1,..2^p-2]$ 的元素，我们依次将首尾元素两两配对，即 $x$ 与 $2^p-1-x$ 进行配置，那么经过若干次操作过后，每一对元素都变成了 $(1, 2^p-2)$，那么最终的乘积为 $(2^p-1) \times (2^p-2)^{2^{p-1}-1}$。

时间复杂度 $O(p)$，空间复杂度 $O(1)$。

Python3

class Solution:
    def minNonZeroProduct(self, p: int) -> int:
        mod = 10**9 + 7
        return (2**p - 1) * pow(2**p - 2, 2 ** (p - 1) - 1, mod) % mod

Java

class Solution {
    public int minNonZeroProduct(int p) {
        final int mod = (int) 1e9 + 7;
        long a = ((1L << p) - 1) % mod;
        long b = qmi(((1L << p) - 2) % mod, (1L << (p - 1)) - 1, mod);
        return (int) (a * b % mod);
    }

    long qmi(long a, long k, long p) {
        long res = 1;
        while (k != 0) {
            if ((k & 1) == 1) {
                res = res * a % p;
            }
            k >>= 1;
            a = a * a % p;
        }
        return res;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int minNonZeroProduct(int p) {
        const int mod = 1e9 + 7;
        long long a = ((1LL << p) - 1) % mod;
        long long b = qmi(((1LL << p) - 2) % mod, (1L << (p - 1)) - 1, mod);
        return a * b % mod;
    }

    long long qmi(long long a, long long k, int p) {
        long long res = 1;
        while (k != 0) {
            if ((k & 1) == 1) {
                res = res * a % p;
            }
            k >>= 1;
            a = a * a % p;
        }
        return res;
    }
};

Go

func minNonZeroProduct(p int) int {
	const mod int = 1e9 + 7
	a := ((1 << p) - 1) % mod
	b := qmi(((1<<p)-2)%mod, (1<<(p-1))-1, mod)
	return a * b % mod
}

func qmi(a, k, p int) int {
	res := 1
	for k != 0 {
		if k&1 == 1 {
			res = res * a % p
		}
		k >>= 1
		a = a * a % p
	}
	return res
}

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