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No.1039.Minimum Score Triangulation of Polygon

Author: yanglbme

solution/1000-1099/1039.Minimum Score Triangulation of Polygon/README.md

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 <!-- 这里可写通用的实现逻辑 -->
 
+**方法一：记忆化搜索**
+
+我们设计一个函数 $dfs(i, j)$，表示将多边形的顶点 $i$ 到 $j$ 进行三角剖分后的最低分数。那么答案就是 $dfs(0, n - 1)$。
+
+函数 $dfs(i, j)$ 的计算过程如下：
+
+如果 $i + 1 = j$，说明多边形只有两个顶点，无法进行三角剖分，返回 $0$；
+
+否则，我们枚举 $i$ 和 $j$ 之间的一个顶点 $k$，即 $i \lt k \lt j$，将多边形的顶点 $i$ 到 $j$ 进行三角剖分，可以分为两个子问题：将多边形的顶点 $i$ 到 $k$ 进行三角剖分，以及将多边形的顶点 $k$ 到 $j$ 进行三角剖分。这两个子问题的最低分数分别为 $dfs(i, k)$ 和 $dfs(k, j)$，而顶点 $i$, $j$ 和 $k$ 构成的三角形的分数为 $values[i] \times values[k] \times values[j]$。那么，此次三角剖分的最低分数为 $dfs(i, k) + dfs(k, j) + values[i] \times values[k] \times values[j]$，我们取所有可能的最小值，即为 $dfs(i, j)$ 的值。
+
+为了避免重复计算，我们可以使用记忆化搜索，即使用哈希表或者数组来存储已经计算过的函数值。
+
+最后，我们返回 $dfs(0, n - 1)$ 即可。
+
+时间复杂度 $O(n^3)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 为多边形的顶点数。
+
+**方法二：动态规划**
+
+我们可以将方法一中的记忆化搜索改为动态规划。
+
+定义 $f[i][j]$ 表示将多边形的顶点 $i$ 到 $j$ 进行三角剖分后的最低分数。初始时 $f[i][j]=0$，答案为 $f[0][n-1]$。
+
+对于 $f[i][j]$（这里要求 $i + 1 \lt j$），我们先将 $f[i][j]$ 初始化为 $\infty$。
+
+我们枚举 $i$ 和 $j$ 之间的一个顶点 $k$，即 $i \lt k \lt j$，将多边形的顶点 $i$ 到 $j$ 进行三角剖分，可以分为两个子问题：将多边形的顶点 $i$ 到 $k$ 进行三角剖分，以及将多边形的顶点 $k$ 到 $j$ 进行三角剖分。这两个子问题的最低分数分别为 $f[i][k]$ 和 $f[k][j]$，而顶点 $i$, $j$ 和 $k$ 构成的三角形的分数为 $values[i] \times values[k] \times values[j]$。那么，此次三角剖分的最低分数为 $f[i][k] + f[k][j] + values[i] \times values[k] \times values[j]$，我们取所有可能的最小值，即为 $f[i][j]$ 的值。
+
+综上，我们可以得到状态转移方程：
+
+$$
+f[i][j]=
+\begin{cases}
+0, & i+1=j \\
+\min_{i<k<j} \{f[i][k]+f[k][j]+values[i] \times values[k] \times values[j]\}, & i+1<j
+\end{cases}
+$$
+
+注意，在枚举 $i$ 和 $j$ 时，我们可以有两种枚举方式：
+
+1. 从大到小枚举 $i$，从小到大枚举 $j$，这样可以保证在计算状态 $f[i][j]$ 时，状态 $f[i][k]$ 和 $f[k][j]$ 都已经计算过了；
+1. 从小到大枚举区间长度 $l$，其中 $3 \leq l \leq n$，然后枚举区间左端点 $i$，那么可以得到右端点 $j=i + l - 1$，这样也可以保证在计算较大区间 $f[i][j]$ 时，较小区间 $f[i][k]$ 和 $f[k][j]$ 都已经计算过了。
+
+最后，我们返回 $f[0][n-1]$ 即可。
+
+时间复杂度 $O(n^3)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 为多边形的顶点数。
+
 <!-- tabs:start -->
 
 ### **Python3**
 
 <!-- 这里可写当前语言的特殊实现逻辑 -->
 
 ```python
+class Solution:
+    def minScoreTriangulation(self, values: List[int]) -> int:
+        @cache
+        def dfs(i: int, j: int) -> int:
+            if i + 1 == j:
+                return 0
+            return min(dfs(i, k) + dfs(k, j) + values[i] * values[k] * values[j] for k in range(i + 1, j))
+
+        return dfs(0, len(values) - 1)
+```
 
+```python
+class Solution:
+    def minScoreTriangulation(self, values: List[int]) -> int:
+        n = len(values)
+        f = [[0] * n for _ in range(n)]
+        for i in range(n - 3, -1, -1):
+            for j in range(i + 2, n):
+                f[i][j] = min(f[i][k] + f[k][j] + values[i] * values[k] * values[j] for k in range(i + 1, j))
+        return f[0][-1]
+```
+
+```python
+class Solution:
+    def minScoreTriangulation(self, values: List[int]) -> int:
+        n = len(values)
+        f = [[0] * n for _ in range(n)]
+        for l in range(3, n + 1):
+            for i in range(n - l + 1):
+                j = i + l - 1
+                f[i][j] = min(f[i][k] + f[k][j] + values[i] * values[k] * values[j] for k in range(i + 1, j))
+        return f[0][-1]
 ```
 
 ### **Java**
 
 <!-- 这里可写当前语言的特殊实现逻辑 -->
 
 ```java
+class Solution {
+    private int n;
+    private int[] values;
+    private Integer[][] f;
+
+    public int minScoreTriangulation(int[] values) {
+        n = values.length;
+        this.values = values;
+        f = new Integer[n][n];
+        return dfs(0, n - 1);
+    }
+
+    private int dfs(int i, int j) {
+        if (i + 1 == j) {
+            return 0;
+        }
+        if (f[i][j] != null) {
+            return f[i][j];
+        }
+        int ans = 1 << 30;
+        for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
+            ans = Math.min(ans, dfs(i, k) + dfs(k, j) + values[i] * values[k] * values[j]);
+        }
+        return f[i][j] = ans;
+    }
+}
+```
+
+```java
+class Solution {
+    public int minScoreTriangulation(int[] values) {
+        int n = values.length;
+        int[][] f = new int[n][n];
+        for (int i = n - 3; i >= 0; --i) {
+            for (int j = i + 2; j < n; ++j) {
+                f[i][j] = 1 << 30;
+                for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
+                    f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + values[i] * values[k] * values[j]);
+                }
+            }
+        }
+        return f[0][n - 1];
+    }
+}
+```
+
+```java
+class Solution {
+    public int minScoreTriangulation(int[] values) {
+        int n = values.length;
+        int[][] f = new int[n][n];
+        for (int l = 3; l <= n; ++l) {
+            for (int i = 0; i + l - 1 < n; ++i) {
+                int j = i + l - 1;
+                f[i][j] = 1 << 30;
+                for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
+                    f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + values[i] * values[k] * values[j]);
+                }
+            }
+        }
+        return f[0][n - 1];
+    }
+}
+```
+
+### **C++**
+
+```cpp
+class Solution {
+public:
+    int minScoreTriangulation(vector<int>& values) {
+        int n = values.size();
+        int f[n][n];
+        memset(f, 0, sizeof(f));
+        function<int(int, int)> dfs = [&](int i, int j) -> int {
+            if (i + 1 == j) {
+                return 0;
+            }
+            if (f[i][j]) {
+                return f[i][j];
+            }
+            int ans = 1 << 30;
+            for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
+                ans = min(ans, dfs(i, k) + dfs(k, j) + values[i] * values[k] * values[j]);
+            }
+            return f[i][j] = ans;
+        };
+        return dfs(0, n - 1);
+    }
+};
+```
+
+```cpp
+class Solution {
+public:
+    int minScoreTriangulation(vector<int>& values) {
+        int n = values.size();
+        int f[n][n];
+        memset(f, 0, sizeof(f));
+        for (int i = n - 3; i >= 0; --i) {
+            for (int j = i + 2; j < n; ++j) {
+                f[i][j] = 1 << 30;
+                for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
+                    f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + values[i] * values[k] * values[j]);
+                }
+            }
+        }
+        return f[0][n - 1];
+    }
+};
+```
+
+```cpp
+class Solution {
+public:
+    int minScoreTriangulation(vector<int>& values) {
+        int n = values.size();
+        int f[n][n];
+        memset(f, 0, sizeof(f));
+        for (int l = 3; l <= n; ++l) {
+            for (int i = 0; i + l - 1 < n; ++i) {
+                int j = i + l - 1;
+                f[i][j] = 1 << 30;
+                for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
+                    f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + values[i] * values[k] * values[j]);
+                }
+            }
+        }
+        return f[0][n - 1];
+    }
+};
+```
+
+### **Go**
+
+```go
+func minScoreTriangulation(values []int) int {
+	n := len(values)
+	f := [50][50]int{}
+	var dfs func(int, int) int
+	dfs = func(i, j int) int {
+		if i+1 == j {
+			return 0
+		}
+		if f[i][j] != 0 {
+			return f[i][j]
+		}
+		f[i][j] = 1 << 30
+		for k := i + 1; k < j; k++ {
+			f[i][j] = min(f[i][j], dfs(i, k)+dfs(k, j)+values[i]*values[k]*values[j])
+		}
+		return f[i][j]
+	}
+	return dfs(0, n-1)
+}
+
+func min(a, b int) int {
+	if a < b {
+		return a
+	}
+	return b
+}
+```
+
+```go
+func minScoreTriangulation(values []int) int {
+	n := len(values)
+	f := [50][50]int{}
+	for i := n - 3; i >= 0; i-- {
+		for j := i + 2; j < n; j++ {
+			f[i][j] = 1 << 30
+			for k := i + 1; k < j; k++ {
+				f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k]+f[k][j]+values[i]*values[k]*values[j])
+			}
+		}
+	}
+	return f[0][n-1]
+}
+
+func min(a, b int) int {
+	if a < b {
+		return a
+	}
+	return b
+}
+```
 
+```go
+func minScoreTriangulation(values []int) int {
+	n := len(values)
+	f := [50][50]int{}
+	for l := 3; l <= n; l++ {
+		for i := 0; i+l-1 < n; i++ {
+			j := i + l - 1
+			f[i][j] = 1 << 30
+			for k := i + 1; k < j; k++ {
+				f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k]+f[k][j]+values[i]*values[k]*values[j])
+			}
+		}
+	}
+	return f[0][n-1]
+}
+
+func min(a, b int) int {
+	if a < b {
+		return a
+	}
+	return b
+}
 ```
 
 ### **...**