README.md

688. “马”在棋盘上的概率

English Version

题目描述

已知一个 NxN 的国际象棋棋盘，棋盘的行号和列号都是从 0 开始。即最左上角的格子记为 (0, 0)，最右下角的记为 (N-1, N-1)。 

现有一个 “马”（也译作 “骑士”）位于 (r, c) ，并打算进行 K 次移动。 

如下图所示，国际象棋的 “马” 每一步先沿水平或垂直方向移动 2 个格子，然后向与之相垂直的方向再移动 1 个格子，共有 8 个可选的位置。

 

 

现在 “马” 每一步都从可选的位置（包括棋盘外部的）中独立随机地选择一个进行移动，直到移动了 K 次或跳到了棋盘外面。

求移动结束后，“马” 仍留在棋盘上的概率。

 

示例：

输入: 3, 2, 0, 0
输出: 0.0625
解释: 
输入的数据依次为 N, K, r, c
第 1 步时，有且只有 2 种走法令 “马” 可以留在棋盘上（跳到（1,2）或（2,1））。对于以上的两种情况，各自在第2步均有且只有2种走法令 “马” 仍然留在棋盘上。
所以 “马” 在结束后仍在棋盘上的概率为 0.0625。

 

注意：

• N 的取值范围为 [1, 25]
• K 的取值范围为 [0, 100]
• 开始时，“马” 总是位于棋盘上

解法

动态规划。dp[l][i][j] 表示骑士从 (i, j) 出发，走了 l 步后，仍留在棋盘上的概率。

Python3

class Solution:
    def knightProbability(self, n: int, k: int, row: int, column: int) -> float:
        dp = [[[0] * n for _ in range(n)] for _ in range(k + 1)]
        for l in range(k + 1):
            for i in range(n):
                for j in range(n):
                    if l == 0:
                        dp[l][i][j] = 1
                    else:
                        for a, b in ((-2, -1), (-2, 1), (2, -1), (2, 1), (-1, -2), (-1, 2), (1, -2), (1, 2)):
                            x, y = i + a, j + b
                            if 0 <= x < n and 0 <= y < n:
                                dp[l][i][j] += dp[l - 1][x][y] / 8
        return dp[k][row][column]

Java

class Solution {
    public double knightProbability(int n, int k, int row, int column) {
        double[][][] dp = new double[k + 1][n][n];
        int[] dirs = {-2, -1, 2, 1, -2, 1, 2, -1, -2};
        for (int l = 0; l <= k; ++l) {
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                for (int j = 0; j < n; ++j) {
                    if (l == 0) {
                        dp[l][i][j] = 1;
                    } else {
                        for (int d = 0; d < 8; ++d) {
                            int x = i + dirs[d], y = j + dirs[d + 1];
                            if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < n) {
                                dp[l][i][j] += dp[l - 1][x][y] / 8;
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return dp[k][row][column];
    }
}

TypeScript

function knightProbability(n: number, k: number, row: number, column: number): number {
    let dp = Array.from({ length: k + 1 }, v => Array.from({ length: n }, w => new Array(n).fill(0)));
    const directions = [[-2, -1], [-2, 1], [-1, -2], [-1, 2], [1, -2], [1, 2], [2, -1], [2, 1]];
    for (let depth = 0; depth <= k; depth++) {
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            for (let j = 0; j < n; j++) {
                if (!depth) {
                    dp[depth][i][j] = 1;
                } else {
                    for (let [dx, dy] of directions) {
                        let [x, y] = [i + dx, j + dy];
                        if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < n) {
                            dp[depth][i][j] += dp[depth - 1][x][y] / 8;
                        }
                    }
                }
                
            }
        }
    }
    return dp[k][row][column];
};

C++

class Solution {
public:
    double knightProbability(int n, int k, int row, int column) {
        vector<vector<vector<double>>> dp(k + 1, vector<vector<double>>(n, vector<double>(n)));
        vector<int> dirs = {-2, -1, 2, 1, -2, 1, 2, -1, -2};
        for (int l = 0; l <= k; ++l)
        {
            for (int i = 0; i < n; ++i)
            {
                for (int j = 0; j < n; ++j)
                {
                    if (l == 0) dp[l][i][j] = 1;
                    else
                    {
                        for (int d = 0; d < 8; ++d)
                        {
                            int x = i + dirs[d], y = j + dirs[d + 1];
                            if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < n)
                                dp[l][i][j] += dp[l - 1][x][y] / 8;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return dp[k][row][column];
    }
};

Go

func knightProbability(n int, k int, row int, column int) float64 {
	dp := make([][][]float64, k+1)
	dirs := []int{-2, -1, 2, 1, -2, 1, 2, -1, -2}
	for l := range dp {
		dp[l] = make([][]float64, n)
		for i := 0; i < n; i++ {
			dp[l][i] = make([]float64, n)
			for j := 0; j < n; j++ {
				if l == 0 {
					dp[l][i][j] = 1
				} else {
					for d := 0; d < 8; d++ {
						x, y := i+dirs[d], j+dirs[d+1]
						if 0 <= x && x < n && 0 <= y && y < n {
							dp[l][i][j] += dp[l-1][x][y] / 8
						}
					}
				}
			}
		}
	}
	return dp[k][row][column]
}

...