Add Hamiltonian path and Complexity classes, NP materials

Author: TeogopK

Seminars/sem_15/README.md

@@ -43,9 +43,65 @@
 ![Complex Eulerian path and cycle graphs](media/complex_eulerian_path_and_cycle.png)
 
 
+## Хамилтонов път и Хамилтонов цикъл
+
+### Хамилтонов път (Hamiltonian path)
+
+- Хамилтоновият път минава през всеки един **връх** на даден граф само по един път.
+- Не е нужно да използва всяко едно ребро за построяване на пътя, може да използва някое ребро повече от веднъж.
+- Проверката дали граф има Хамилтонов път/ цикъл е *NP complete problem*
+
+### Хамилтонов цикъл (Hamiltonian cycle)
+
+- Частен случай на Хамилтоновия път.
+- Хамилтоновият цикъл е път, който минава всеки един **връх** на даден на даден граф само по един път, като свършва във върха, от който е тръгнал.
+- Проблемът за намирането на минимален Хамилтонов цикъл е известен като *The Traveling Salesman Problem* (*NP hard problem*).
+
+Пример:
+
+![Hamiltonian path and cycle example](media/hamiltonian_path_and_cycle.png)
+
+- Хамилтонов път - *ABCED*
+- Хамилтонов цикъл - *ABDECA*
+
+## P, NP, NP complete, NP hard проблеми
+
+### Complexity class P 
+
+- Проблеми, които **могат** да се **решат** за полиномиално време.
+- Сложността на решението може да се представи като *O(N<sup>k</sup>)* за някое *k*.
+- Включва константна, квадратична, енлог сложност. (*O(1) = O(N<sup>0</sup>), O(NlogN) < O(N<sup>2</sup>)*)
+- Съществува ли Ойлеров път в граф е проблем от *class P*.
+  
+### Complexity class NP 
+
+- Проблеми, които **не могат** да се **решат** за полиномиално време.
+- Все още не съществува доказателство, че *P = NP*, нито че *P != NP*.
+- За полиномиално време може да се **провери** дали предложено решение е валидно.
+- Примери за неполиномиални сложности са *2<sup>N</sup>, 3<sup>N</sup>, N!, N!NlogN* и т.н.
+- Съществува ли Хамилтонов път в граф е проблем от *class NP*.
+
+*1 < logN < sqrtN < N < NlogN < N<sup>2</sup> < N<sup>3</sup> < 2<sup>N</sup> < 3<sup>N</sup> < N! < N<sup>N</sup>*
+
+### Complexity class NP complete
+
+- Подмножество от всички *NP* проблеми (подмножество и на *NP hard* проблемите).
+- Един *NP complete* проблем може да се преобразува в друг такъв за полиномиално време.
+- Ако се намери полиномиално решение на един *NP complete* проблем, то решава всеки един *NP complete* проблем за полиномиално време.
+- [Примери](https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_NP-complete_problems): Съществува ли Хамилтонов път в граф и Най-дълъг път в граф са проблеми от *NP complete*.
+
+### Complexity class NP hard
+
+- Всички проблеми, които са поне толкова сложни, колкото най-сложните проблеми от *NP* класа.
+- Дори да се предложи решение, **не винаги е възможно** да се провери за полиномиално време дали то е валидно. (Възможно е при *NP complete* проблем)
+- Намиране на бързо решение за всички *NP complete* проблеми, не означава намиране на бързо решение за всички *NP hard* проблеми.
+- *The Traveling Salesman Problem* е пример за *NP hard* проблем - дори да се предложи решение за най-кратък Хамилтонов цикъл не може лесно да се провери дали наистина то е оптималното.
+
+![P, NP, NP complete, NP hard problems diagram from Wikipedia](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a0/P_np_np-complete_np-hard.svg)
+
 ## Задачи за упражнение
 
-- []()
+- [Reconstruct Itinerary](https://leetcode.com/problems/reconstruct-itinerary)
 
 
 Решения на задачите: [тук](/Tasks/tasks_15)