Create Interview-62.md

Author: NLP-LOVE

Algorithm/Interview-62.md

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+## Inverview-62：队列的最大值
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+**题目**：0,1,,n-1 这 n 个数字排成一个圆圈，从数字 0 开始，每次从这个圆圈里删除第 m 个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。例如，0、1、2、3、4 这 5 个数字组成一个圆圈，从数字 0 开始每次删除第 3 个数字，则删除的前 4 个数字依次是 2、0、4、1，因此最后剩下的数字是 3。
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+![](https://raw.githubusercontent.com/NLP-LOVE/CodingInterviews2-ByPython/master/img/2020-2-16_14-22-39.png)
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+这就是一个约瑟夫环问题。
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+**解题思路**
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+解题的一种方法是可以用环形链表来模拟圆圈，然后循环就可以解决了。但会发现环形链表重复遍历了很多遍，总的时间复杂度是 O(mn)。
+
+还有一种方法是查看数字之间的规律，如下所述:
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+- **首先**我们定义一个关于 n 和m的方程 F(n,m)，表示每次在 n 个数字 0 到 n-1 中删除第 m 个数字最后剩下的数字。在这 n 个数字中，第一个被删除的数字是 (m-1)%n。为了简单起见，我们把 (m-1)%n 记为 k。
+
+- **删除** k 之后剩下的 n-1 个数字，并且下一次删除从数字 k+1 开始计数循环删除第 m 个数字，直到只剩下一个数字为止。我们可以定义这样的式子，F(n,m)=F(n-1,m)
+
+- **找规律**: 接下来我们把删除过后的数字与从 0 开始计数的 n-2 的序列进行一一**映射**。
+  $$
+  \begin{array}{l}{k+1 \rightarrow 0} \\ {k+2 \rightarrow 1} \\ {\cdots} \\ {n-1 \rightarrow n-k-2} \\ {0 \rightarrow n-k-1} \\ {1 \rightarrow n-k} \\ {\cdots} \\ {k-1 \quad \rightarrow \quad n-2}\end{array}
+  $$
+  会发现一个映射规律公式，P(x)=(x-k-1)%n。它表示如果映射前的数字是x，那么映射后的数字是 (x-k-1)%n。同样的，逆映射就是 Q(x)=(x+k+1)%n。
+
+- 接下来就是带入 F(n-1,m)。
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+  F(n-1,m) = Q[F(n-1,m)] = [F(n-1,m)+k+1]%n。
+
+  把 k=(m-1)%n 代入
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+  F(n,m)=F(n-1,m) = [F(n-1,m)+m]%n
+
+- **最终**我们就可以得到如下式子:
+  $$
+  f(n, m)=\left\{\begin{array}{ll}{0} & {n=1} \\ {[f(n-1, m)+m]^{0 / 0} n} & {n>1}\end{array}\right.
+  $$
+  根据这个公式我们就可以进行编程实现了，递归和循环都可以。
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+**以下代码可提交至LeetCode：**
+
+[https://leetcode-cn.com/problems/yuan-quan-zhong-zui-hou-sheng-xia-de-shu-zi-lcof/](https://leetcode-cn.com/problems/yuan-quan-zhong-zui-hou-sheng-xia-de-shu-zi-lcof/)
+
+```python
+class Solution:
+
+    def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:
+        if n == 1:
+            return 0
+
+        last = 0
+        for i in range(2, n + 1):
+            last = (last + m) % i
+
+        return last
+
+n = 5
+m = 3
+s = Solution()
+print(s.lastRemaining(n, m))
+```
+
+结果如下:
+
+```
+3
+```
+
+
+
+![](https://gitee.com/kkweishe/images1/raw/master/ML/2020-2-14_10-42-38.png)