|
54 | 54 |
|
55 | 55 | <!-- 这里可写通用的实现逻辑 --> |
56 | 56 |
|
| 57 | +**方法一：记忆化搜索 + 二分查找** |
| 58 | + |
| 59 | +我们设计一个函数 $dfs(i, j)$，表示有 $i$ 层楼以及 $j$ 个鸡蛋时，确定 $f$ 值的最小操作次数，那么答案就是 $dfs(n, k)$。 |
| 60 | + |
| 61 | +函数 $dfs(i, j)$ 的执行逻辑如下： |
| 62 | + |
| 63 | +如果 $i \lt 1$，说明楼层已经小于等于 $0$，此时返回 $0$； |
| 64 | + |
| 65 | +如果 $j = 1$，说明只有一个鸡蛋，那么只能从第一层开始一层一层试，最坏情况下需要试 $i$ 次，此时返回 $i$； |
| 66 | + |
| 67 | +否则，我们考虑枚举第一个鸡蛋从第 $x$ 层扔下的情况，其中 $1 \le x \le i$。如果鸡蛋在第 $x$ 层扔下时碎了，说明 $f \lt x$，此时我们接下来需要在 $x - 1$ 层下方以及剩下的 $j - 1$ 个鸡蛋确定 $f$ 值，总共需要的最小操作次数为 $dfs(x - 1, j - 1) + 1$ 次；如果鸡蛋在第 $x$ 层扔下时没碎，说明 $f \gt x$，此时我们需要在第 $x + 1$ 层及以上以及剩下的 $j$ 个鸡蛋确定 $f$ 值，总共需要的最小操作次数为 $dfs(i - x, j) + 1$ 次。由于我们要保证最坏情况下操作次数最少，因此 $dfs(i, j) = \min_{1 \le x \le i} \max(dfs(x - 1, j - 1), dfs(i - x, j)) + 1$。 |
| 68 | + |
| 69 | +如果按照这样的方式枚举，由于状态数有 $n \times k$，每个状态需要枚举 $n$ 次，那么总时间复杂度达到 $O(n^2 \times k)$，这会超出时间限制，我们考虑如何进行优化。 |
| 70 | + |
| 71 | +我们注意到函数 $dfs(x - 1, j - 1)$ 随着 $x$ 的增大而单调递增，而函数 $dfs(i - x, j)$ 随着 $x$ 的增大而单调递减，因此存在一个最优的 $x$ 值使得 $\max(dfs(x - 1, j - 1), dfs(i - x, j))$ 达到最小值。我们可以对 $x$ 进行二分查找，找出这个最优的 $x$ 值。其中 $x$ 是满足 $dfs(x - 1, j - 1) \le dfs(i - x, j)$ 的最大整数。这样我们可以将时间复杂度降低到 $O(n \times k \log n)$。 |
| 72 | + |
| 73 | +时间复杂度 $O(n \times k \log n)$，空间复杂度 $O(n \times k)$。其中 $n$ 和 $k$ 分别是楼层数和鸡蛋数。 |
| 74 | + |
| 75 | +**方法二：动态规划 + 二分查找** |
| 76 | + |
| 77 | +我们也可以使用动态规划的方法解决这个问题。 |
| 78 | + |
| 79 | +我们定义 $f[i][j]$ 表示有 $i$ 层楼以及 $j$ 个鸡蛋时，确定 $f$ 值的最小操作次数，那么答案就是 $f[n][k]$。 |
| 80 | + |
| 81 | +状态转移方程为 $f[i][j] = \min_{1 \le x \le i} \max(f[x - 1][j - 1], f[i - x][j]) + 1$。 |
| 82 | + |
| 83 | +与方法一类似，我们可以使用二分查找来优化 $x$ 的枚举过程。 |
| 84 | + |
| 85 | +时间复杂度 $O(n \times k \log n)$，空间复杂度 $O(n \times k)$。其中 $n$ 和 $k$ 分别是楼层数和鸡蛋数。 |
| 86 | + |
57 | 87 | <!-- tabs:start --> |
58 | 88 |
|
59 | 89 | ### **Python3** |
60 | 90 |
|
61 | 91 | <!-- 这里可写当前语言的特殊实现逻辑 --> |
62 | 92 |
|
63 | 93 | ```python |
| 94 | +class Solution: |
| 95 | + def superEggDrop(self, k: int, n: int) -> int: |
| 96 | + @cache |
| 97 | + def dfs(i: int, j: int) -> int: |
| 98 | + if i < 1: |
| 99 | + return 0 |
| 100 | + if j == 1: |
| 101 | + return i |
| 102 | + l, r = 1, i |
| 103 | + while l < r: |
| 104 | + mid = (l + r + 1) >> 1 |
| 105 | + a = dfs(mid - 1, j - 1) |
| 106 | + b = dfs(i - mid, j) |
| 107 | + if a <= b: |
| 108 | + l = mid |
| 109 | + else: |
| 110 | + r = mid - 1 |
| 111 | + return max(dfs(l - 1, j - 1), dfs(i - l, j)) + 1 |
64 | 112 |
|
| 113 | + return dfs(n, k) |
| 114 | +``` |
| 115 | + |
| 116 | +```python |
| 117 | +class Solution: |
| 118 | + def superEggDrop(self, k: int, n: int) -> int: |
| 119 | + f = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)] |
| 120 | + for i in range(1, n + 1): |
| 121 | + f[i][1] = i |
| 122 | + for i in range(1, n + 1): |
| 123 | + for j in range(2, k + 1): |
| 124 | + l, r = 1, i |
| 125 | + while l < r: |
| 126 | + mid = (l + r + 1) >> 1 |
| 127 | + a, b = f[mid - 1][j - 1], f[i - mid][j] |
| 128 | + if a <= b: |
| 129 | + l = mid |
| 130 | + else: |
| 131 | + r = mid - 1 |
| 132 | + f[i][j] = max(f[l - 1][j - 1], f[i - l][j]) + 1 |
| 133 | + return f[n][k] |
65 | 134 | ``` |
66 | 135 |
|
67 | 136 | ### **Java** |
68 | 137 |
|
69 | 138 | <!-- 这里可写当前语言的特殊实现逻辑 --> |
70 | 139 |
|
71 | 140 | ```java |
| 141 | +class Solution { |
| 142 | + private int[][] f; |
| 143 | + |
| 144 | + public int superEggDrop(int k, int n) { |
| 145 | + f = new int[n + 1][k + 1]; |
| 146 | + return dfs(n, k); |
| 147 | + } |
| 148 | + |
| 149 | + private int dfs(int i, int j) { |
| 150 | + if (i < 1) { |
| 151 | + return 0; |
| 152 | + } |
| 153 | + if (j == 1) { |
| 154 | + return i; |
| 155 | + } |
| 156 | + if (f[i][j] != 0) { |
| 157 | + return f[i][j]; |
| 158 | + } |
| 159 | + int l = 1, r = i; |
| 160 | + while (l < r) { |
| 161 | + int mid = (l + r + 1) >> 1; |
| 162 | + int a = dfs(mid - 1, j - 1); |
| 163 | + int b = dfs(i - mid, j); |
| 164 | + if (a <= b) { |
| 165 | + l = mid; |
| 166 | + } else { |
| 167 | + r = mid - 1; |
| 168 | + } |
| 169 | + } |
| 170 | + return f[i][j] = Math.max(dfs(l - 1, j - 1), dfs(i - l, j)) + 1; |
| 171 | + } |
| 172 | +} |
| 173 | +``` |
| 174 | + |
| 175 | +```java |
| 176 | +class Solution { |
| 177 | + public int superEggDrop(int k, int n) { |
| 178 | + int[][] f = new int[n + 1][k + 1]; |
| 179 | + for (int i = 1; i <= n; ++i) { |
| 180 | + f[i][1] = i; |
| 181 | + } |
| 182 | + for (int i = 1; i <= n; ++i) { |
| 183 | + for (int j = 2; j <= k; ++j) { |
| 184 | + int l = 1, r = i; |
| 185 | + while (l < r) { |
| 186 | + int mid = (l + r + 1) >> 1; |
| 187 | + int a = f[mid - 1][j - 1]; |
| 188 | + int b = f[i - mid][j]; |
| 189 | + if (a <= b) { |
| 190 | + l = mid; |
| 191 | + } else { |
| 192 | + r = mid - 1; |
| 193 | + } |
| 194 | + } |
| 195 | + f[i][j] = Math.max(f[l - 1][j - 1], f[i - l][j]) + 1; |
| 196 | + } |
| 197 | + } |
| 198 | + return f[n][k]; |
| 199 | + } |
| 200 | +} |
| 201 | +``` |
| 202 | + |
| 203 | +### **C++** |
| 204 | + |
| 205 | +```cpp |
| 206 | +class Solution { |
| 207 | +public: |
| 208 | + int superEggDrop(int k, int n) { |
| 209 | + int f[n + 1][k + 1]; |
| 210 | + memset(f, 0, sizeof(f)); |
| 211 | + function<int(int, int)> dfs = [&](int i, int j) -> int { |
| 212 | + if (i < 1) { |
| 213 | + return 0; |
| 214 | + } |
| 215 | + if (j == 1) { |
| 216 | + return i; |
| 217 | + } |
| 218 | + if (f[i][j]) { |
| 219 | + return f[i][j]; |
| 220 | + } |
| 221 | + int l = 1, r = i; |
| 222 | + while (l < r) { |
| 223 | + int mid = (l + r + 1) >> 1; |
| 224 | + int a = dfs(mid - 1, j - 1); |
| 225 | + int b = dfs(i - mid, j); |
| 226 | + if (a <= b) { |
| 227 | + l = mid; |
| 228 | + } else { |
| 229 | + r = mid - 1; |
| 230 | + } |
| 231 | + } |
| 232 | + return f[i][j] = max(dfs(l - 1, j - 1), dfs(i - l, j)) + 1; |
| 233 | + }; |
| 234 | + return dfs(n, k); |
| 235 | + } |
| 236 | +}; |
| 237 | +``` |
| 238 | +
|
| 239 | +```cpp |
| 240 | +class Solution { |
| 241 | +public: |
| 242 | + int superEggDrop(int k, int n) { |
| 243 | + int f[n + 1][k + 1]; |
| 244 | + memset(f, 0, sizeof(f)); |
| 245 | + for (int i = 1; i <= n; ++i) { |
| 246 | + f[i][1] = i; |
| 247 | + } |
| 248 | + for (int i = 1; i <= n; ++i) { |
| 249 | + for (int j = 2; j <= k; ++j) { |
| 250 | + int l = 1, r = i; |
| 251 | + while (l < r) { |
| 252 | + int mid = (l + r + 1) >> 1; |
| 253 | + int a = f[mid - 1][j - 1]; |
| 254 | + int b = f[i - mid][j]; |
| 255 | + if (a <= b) { |
| 256 | + l = mid; |
| 257 | + } else { |
| 258 | + r = mid - 1; |
| 259 | + } |
| 260 | + } |
| 261 | + f[i][j] = max(f[l - 1][j - 1], f[i - l][j]) + 1; |
| 262 | + } |
| 263 | + } |
| 264 | + return f[n][k]; |
| 265 | + } |
| 266 | +}; |
| 267 | +``` |
| 268 | + |
| 269 | +### **Go** |
| 270 | + |
| 271 | +```go |
| 272 | +func superEggDrop(k int, n int) int { |
| 273 | + f := make([][]int, n+1) |
| 274 | + for i := range f { |
| 275 | + f[i] = make([]int, k+1) |
| 276 | + } |
| 277 | + var dfs func(i, j int) int |
| 278 | + dfs = func(i, j int) int { |
| 279 | + if i < 1 { |
| 280 | + return 0 |
| 281 | + } |
| 282 | + if j == 1 { |
| 283 | + return i |
| 284 | + } |
| 285 | + if f[i][j] != 0 { |
| 286 | + return f[i][j] |
| 287 | + } |
| 288 | + l, r := 1, i |
| 289 | + for l < r { |
| 290 | + mid := (l + r + 1) >> 1 |
| 291 | + a, b := dfs(mid-1, j-1), dfs(i-mid, j) |
| 292 | + if a <= b { |
| 293 | + l = mid |
| 294 | + } else { |
| 295 | + r = mid - 1 |
| 296 | + } |
| 297 | + } |
| 298 | + f[i][j] = max(dfs(l-1, j-1), dfs(i-l, j)) + 1 |
| 299 | + return f[i][j] |
| 300 | + } |
| 301 | + return dfs(n, k) |
| 302 | +} |
| 303 | + |
| 304 | +func max(a, b int) int { |
| 305 | + if a > b { |
| 306 | + return a |
| 307 | + } |
| 308 | + return b |
| 309 | +} |
| 310 | +``` |
| 311 | + |
| 312 | +```go |
| 313 | +func superEggDrop(k int, n int) int { |
| 314 | + f := make([][]int, n+1) |
| 315 | + for i := range f { |
| 316 | + f[i] = make([]int, k+1) |
| 317 | + } |
| 318 | + for i := 1; i <= n; i++ { |
| 319 | + f[i][1] = i |
| 320 | + } |
| 321 | + for i := 1; i <= n; i++ { |
| 322 | + for j := 2; j <= k; j++ { |
| 323 | + l, r := 1, i |
| 324 | + for l < r { |
| 325 | + mid := (l + r + 1) >> 1 |
| 326 | + a, b := f[mid-1][j-1], f[i-mid][j] |
| 327 | + if a <= b { |
| 328 | + l = mid |
| 329 | + } else { |
| 330 | + r = mid - 1 |
| 331 | + } |
| 332 | + } |
| 333 | + f[i][j] = max(f[l-1][j-1], f[i-l][j]) + 1 |
| 334 | + } |
| 335 | + } |
| 336 | + return f[n][k] |
| 337 | +} |
| 338 | + |
| 339 | +func max(a, b int) int { |
| 340 | + if a > b { |
| 341 | + return a |
| 342 | + } |
| 343 | + return b |
| 344 | +} |
| 345 | +``` |
| 346 | + |
| 347 | +### **TypeScript** |
| 348 | + |
| 349 | +```ts |
| 350 | +function superEggDrop(k: number, n: number): number { |
| 351 | + const f: number[][] = new Array(n + 1) |
| 352 | + .fill(0) |
| 353 | + .map(() => new Array(k + 1).fill(0)); |
| 354 | + const dfs = (i: number, j: number): number => { |
| 355 | + if (i < 1) { |
| 356 | + return 0; |
| 357 | + } |
| 358 | + if (j === 1) { |
| 359 | + return i; |
| 360 | + } |
| 361 | + if (f[i][j]) { |
| 362 | + return f[i][j]; |
| 363 | + } |
| 364 | + let l = 1; |
| 365 | + let r = i; |
| 366 | + while (l < r) { |
| 367 | + const mid = (l + r + 1) >> 1; |
| 368 | + const a = dfs(mid - 1, j - 1); |
| 369 | + const b = dfs(i - mid, j); |
| 370 | + if (a <= b) { |
| 371 | + l = mid; |
| 372 | + } else { |
| 373 | + r = mid - 1; |
| 374 | + } |
| 375 | + } |
| 376 | + return (f[i][j] = Math.max(dfs(l - 1, j - 1), dfs(i - l, j)) + 1); |
| 377 | + }; |
| 378 | + return dfs(n, k); |
| 379 | +} |
| 380 | +``` |
72 | 381 |
|
| 382 | +```ts |
| 383 | +function superEggDrop(k: number, n: number): number { |
| 384 | + const f: number[][] = new Array(n + 1) |
| 385 | + .fill(0) |
| 386 | + .map(() => new Array(k + 1).fill(0)); |
| 387 | + for (let i = 1; i <= n; ++i) { |
| 388 | + f[i][1] = i; |
| 389 | + } |
| 390 | + for (let i = 1; i <= n; ++i) { |
| 391 | + for (let j = 2; j <= k; ++j) { |
| 392 | + let l = 1; |
| 393 | + let r = i; |
| 394 | + while (l < r) { |
| 395 | + const mid = (l + r + 1) >> 1; |
| 396 | + const a = f[mid - 1][j - 1]; |
| 397 | + const b = f[i - mid][j]; |
| 398 | + if (a <= b) { |
| 399 | + l = mid; |
| 400 | + } else { |
| 401 | + r = mid - 1; |
| 402 | + } |
| 403 | + } |
| 404 | + f[i][j] = Math.max(f[l - 1][j - 1], f[i - l][j]) + 1; |
| 405 | + } |
| 406 | + } |
| 407 | + return f[n][k]; |
| 408 | +} |
73 | 409 | ``` |
74 | 410 |
|
75 | 411 | ### **...** |
|
0 commit comments